奥数专栏 · 平均数与极值
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王牌例题 3 · 最值问题 ⏳ 待作答
10 人参加考试，满分 100 分，平均 90.3 分；得分均为互不相同的整数，且无人得满分。求：排名第 5 的人最低考了多少分？
✍️ 我的答案：
分
思维点拨：由平均数先算出 10 人总分；想要第 5 名尽可能低，前 4 名必须尽可能高（顶格拿高分），而第 6~10 名必须紧紧贴着第 5 名！
前4名（尽量高） 第5名（答案） 第6~10名（紧贴）
🏆 答案：第 5 名最低考了 88 分
平均 90.3
举一反三 1 · 整除与范围夹逼 ⏳ 待作答
老师在黑板上写了 7 个正整数，让豆豆计算它们的平均数，并且保留小数点后面两位。豆豆算出的答案是 14.73，老师告诉她：最后一位数字是错的。正确的答案是（        ）。
✍️ 我的答案：
思维点拨：7 个数是正整数，所以它们的总和也必须是正整数！“最后一位错了”说明前两位“14.7”是对的，算出 7×14.70 与 7×14.80 之间的唯一整数！
💡 第一性原理：抓本质（整除与范围）

1. 设这 7 个正整数的总和为 S。因为每个加数都是正整数，所以 S 也必须是正整数！
2. 平均数保留两位是 14.73，但老师指出“最后一位（百分位）是错的”，说明：整数部分 14 和十分位 7 是完全正确的！
3. 因此真实的平均数范围一定是：14.70 ≤ 真实平均数 < 14.80

🎯 数轴夹逼：锁定总和 S 的唯一整数解

因为 总和 S = 7 × 平均数，给不等式两边同时乘以 7：

7 × 14.70 ≤ S < 7 × 14.80   ⇒   102.9 ≤ S < 103.6
102
不够
102.9
★ 唯一整数 103
✓ 精准命中
103.6
104
超额
在 102.9 与 103.6 之间，唯一的正整数只有 103！ 由此锁定 7 数之和 S = 103。
🏆 还原真实平均数

真实平均数计算：103 ÷ 7 = 14.7142857…
按题目要求保留小数点后两位（千分位是 4，四舍五入舍去）：
正确答案 = 14.71 （豆豆将末位的 1 错算成了 3）

举一反三 2 · 极值与排位 ⏳ 待作答
数学考试的满分是 100 分，6 位同学在这次考试中的平均得分是 91 分，这 6 位同学的得分互不相同，且都是整数，其中有一位同学仅得 65 分，则得分排在第三名的同学至少得（        ）分。
✍️ 我的答案：
分
思维点拨：65 分垫底是第 6 名；要让第 3 名尽量低，前 2 名必须顶格（100分和99分），第 4、5 名贴紧第 3 名！
前2名（顶格100,99） 第3名（答案求极值） 第4,5名（贴紧第3名） 第6名（已知65分垫底）
🏆 答案：第 3 名至少得 95 分
平均 91
举一反三 3 · 对称求和与整体思想 ⏳ 待作答
有 4 个数，每次选出其中的 3 个数算它们的平均数再加上另一个数，用这样的方法计算了 4 次，得到的结果分别是 86, 92, 100, 106。求原来 4 个数的平均数。
✍️ 我的答案：
思维点拨：不要单独解字母，把 4 个式子相加！算一算每个数在 4 个式子里一共被计算了几次？
💡 建立对称方程组

设这 4 个数分别为 a, b, c, d。根据题意列出 4 次计算的等式：

1
a + b + c3 + d = 86
2
a + b + d3 + c = 92
3
a + c + d3 + b = 100
4
b + c + d3 + a = 106
⚡ 秒杀技巧：整体思维 · 观察每个数的“贡献权重”

不急着解单个字母，把 4 个式子全部相加！仔细观察任意一个数（例如 a）被计算了几次：
• 在前面 3 个式的平均数里各出现了 1 次，每次算 13 个 a，合计贡献：13 × 3 = 1 个 a；
• 在第 4 个式子里作为“另一个数”单独加上了 1 次，贡献了 1 个 a；
• 每个数无论处于哪个位置，恰好都总共贡献了：1 + 1 = 2 次！

4 式直接相加 = 2 × (a + b + c + d) = 86 + 92 + 100 + 106 = 384
🏆 锁定原 4 个数的总和与平均数

原来 4 个数的总和：
a + b + c + d = 384 ÷ 2 = 192

题目要求的是原来 4 个数的平均数：
平均数 = 192 ÷ 4 = 48

🎁 深度拓展：如果题目追问“这 4 个数分别具体是多少？”

已知 4 数之和 a + b + c + d = 192，将式①改写：
192 - d3 + d = 86  &implies;  192 + 2d = 86 × 3 = 258  &implies;  2d = 66  &implies;  d = 33！
同理可直接口算出其他三数：
• 2c = 92 × 3 - 192 = 84  &implies;  c = 42
• 2b = 100 × 3 - 192 = 108  &implies;  b = 54
• 2a = 106 × 3 - 192 = 126  &implies;  a = 63
4 个数按从小到大分别为：33, 42, 54, 63。验算平均数：(33 + 42 + 54 + 63) ÷ 4 = 192 ÷ 4 = 48 ✓ 完美闭环！